Проектирование съемки и оценка модели на основе анализа разрешения для 4-мерного гравитационного мониторинга

Kristofer Davis*, M. Andy Kass, Rich A. Krahenbuhl, and Yaoguo Li

Центр гравитационных, электрических, и магнитных исследований, Горное училище в Колорадо 

Краткая справка

Периодические гравиметрические исследования позволяют выявить изменения массы, и предлагают уникальные средства мониторинга динамики геологической среды. По мере расширения области применения методики, проектирование съемки и оценка модели становятся основными этапами проведения качественной интерпретации. Прежде всего, мы проверяем, каким должно быть оптимальное расстояние между пунктами наблюдения, которое в теории и в моделировании на основе обращения задает такую характеристику, как длина шкалы. Затем мы проверяем разрешающую способность, если была задано расстояние между элементами данных, чтобы иметь соответствующую структуру модели.

Введение

В последние годы активно развиваются 4-мерные гравиметрические исследования, особенно для мониторинга продуктивных пластов. В таких случаях важно задать параметры съемки, чтобы получить по возможности больше информации об объекте исследований. Другими словами, нужно задать вопрос: «каким должно быть оптимальное расстояние между элементами данных, чтобы обследовать пласт?». Мы смотрим на теорию этого вопроса, и там, где стандартные предположения больше не работают, тогда мы выполняем моделирование на основе обращения, для того, чтобы понять, как рассчитать наилучшее расстояние между пунктами наблюдения с заданным ожидаемым шумовым порогом. После того, как будут собраны данные (или если они были собраны ранее), важно настроить соответствующие параметры пространства модели, с тем, чтобы получить модель, разбитую на элементы оптимального размера. Мы изучаем разрешение моделей с различными расстояниями между элементами данных, используя искусственный пример, и применяем его в полевых исследованиях.

Теория

Подход с представлением в волночисленной области

При проектировании гравиметрической съемки для обследования определенной глубины, оптимальное расстояние между элементами данных может быть ограничено путем анализа затухания волновых чисел как функции расстояния до источника. Интуитивно ясно, что чем глубже располагается источник, тем меньше в сигнале на поверхности будет высоких волновых чисел. Аналогичным образом мы подходим к работе Reid (1980) по проектированию аэромагнитной съемки для выявления этого предельного расстояния между пунктами наблюдения. В области Фурье гравитационное поле, создаваемое точечной массой, выражается следующим образом:

(1)

где g ˜ – это преобразованное поле Фурье на некоторой высоте h; γ – это гравитационная постоянная; m – масса, и ω_x и ω_y – это волновые числа поля в каждом соответствующем направлении.

При условии бесконечно малых размеров источника, уравнение (1) по существу, показывает, что характеристика волновых чисел на очень малом расстоянии от источника равномерна (все волновые числа имеют равную энергию). Амплитуда определяется только гравитационной постоянной и массой. По мере увеличения высоты наблюдений, энергия областей с высокими волновыми числами будет прогрессивно уменьшаться. Рассматривая энергию как функцию обратного волнового числа (период) на шкале в децибелах (дБ) по отношению к энергии вблизи источника для некоторой высоты наблюдения, сразу же становится видимым нужное расстояние между пунктами наблюдения. Мы выбираем спад величиной 4 дБ в качестве нашего критического волнового числа. Любое волновое число, превышающее спад 4 дБ, считается незначащим. Поэтому, для того, чтобы точно отобразить сигнал, вызванный точечной массой на поверхности, для нашего расстояния между пунктами наблюдения мы используем удвоенное значение этого критического волнового числа, с тем, чтобы соблюсти теорему Найквиста. Результатом является эмпирическое правило: расстояние между пунктами наблюдения при проведении гравиметрических исследований должно быть примерно равно глубине. Численные результаты для спада величиной 4 дБ свидетельствуют о том, что расстояние между пунктами наблюдения, на 8% превышающее глубину, позволяет точно отобразить поле на поверхности. Однако, важно отметить, что этот результат действителен только для данных без шума. В реальных условиях, для достижения более высокого значения отношения сигнал/шум, требуется повысить частоту взятия отсчетов, это достигается путем удвоения каналов. Поэтому в следующем разделе мы принимаемся за анализ разрешения.

На Рисунке 1 показана частотная характеристика от точечного источника на глубине 2500 м как функция длины пространственной волны, при снижении энергии 4 дБ. Это снижение энергии соответствует расстоянию между пунктами наблюдения примерно 2500 м. Однако, важно отметить, что этот анализ предполагает точные данные. Повышение частоты взятия отсчетов может увеличить отношение сигнал/шум, и улучшить результаты численного обращения.

Рисунок 1: Энергия как функция длины пространственной волны для точечного источника на глубине 2500 м. Спад 4 дБ (красная линия) соответствует длине волны около 5000 м, давая величину оптимального расстояния между пунктами наблюдения 2500 м.

Подход с применением матрицы разрешений

В конечном счете, большинство данных периодических гравиметрических наблюдений интерпретируются с помощью процесса обращения, или для установления границы между резко отличающимися плотностями, или для установления 3-мерного распределения плотностных изменений с течением времени. Таким образом, разрешающая способность комплекта данных лучше оценивается, исходя из того, каких результатов можно достичь этим обращением. В этом исследовании мы сосредотачиваемся на обращении плотности, но такая же методология применима к обращению границ. Матрица разрешений предоставляет эффективные средства оценки моделей обращения, и, следовательно, может содействовать в выработке параметров получения данных, с учетом требуемой разрешающей способности восстановленной модели, посредством обращения (например, Kirkendall, 2007). Поскольку дискретизация модели при обращении выступает в качестве неявного фактора регуляризации, и воздействует на восстановленную модель, матрица разрешений также может содействовать в разработке сетки для обращения определенного комплекта данных.

Матрица разрешений представляет собой матрицу формата M x M, где M – это количество ячеек в модели. Матрица разрешений связана с восстановленной моделью и истинной моделью следующим образом:

(2)

где это восстановленная модель,– истинная модель,– шумовая составляющая, и R – это матрица разрешений. Каждая колонка матрицы представляет собой функцию рассеяния точки, которая показывает, как импульс одного параметра распространяется на другие параметры. Если обращение гравиметрических данных для плотностной модели производится посредством регуляризации Тихонова (Тихонов и Арсенин, 1977) без дополнительных ограничений, то тогда восстановленная модель выражается следующим образом:

(3)

где W_m и W_d – это матрицы взвешивания модели и данных, соответственно, λ – это параметр Тихонова, G – это матрица чувствительности, и d_obs - это наблюдаемые данные. Соответствующая матрица разрешений выражается следующим образом:

(4)

Каждая колонка матрицы разрешений представляет собой классическую функцию рассеяния точки (PSF), которая количественно определяет, как ограниченная плотностная аномалия, такая как импульс в истинной плотностной модели, распространяется на соседние области в восстановленной модели. Проверка PSF позволяет нам определить разрешающую способность периодических гравиметрических исследований благодаря модели обращения, используемой в интерпретации. В общем случае, матрица взвешивания модели создается для отбраковки нежелательной структуры модели, соответствующей зашумленным данным, путем использования сглаживающих членов. Больший параметр регуляризации ведет к большей сглаженности модели, и, следовательно, к меньшей разрешающей способности. Величина параметра регуляризации зависит от уровня зашумленности данных. Более высокий уровень зашумленности требует более сильной регуляризации, и следовательно, большего параметра регуляризации. Поэтому различные уровни зашумленности влияют на матрицу разрешений главным образом через параметр Тихонова.

Мы обращаем внимание на то, что уравнение (3) распространяется на обращение без ограничений. В нашем исследовании мы применяем алгоритм обращения (Li и Oldenburg, 1998), который включает в себя также верхнюю и нижнюю границы плотностного контраста. В результате проблема не является более строго линейной, и мы не имеем решение в аналитическом виде для матрицы разрешений, как видно из уравнения (4). Вместо этого, мы колонка за колонкой создаем матрицу разрешений в числовом виде. Да дополнительными подробностями мы направляем читателей к работе Kirkendall, 2007, но основной процесс является двухступенчатым. Прежде всего, мы выполняем обращение данных наблюдений, и определяем оптимальный параметр регуляризации. Мы можем использовать такой же оператор обращения, какой был определен комбинацией таких же данных и матриц взвешивания модели, матрицы чувствительности, и параметром регуляризации, для того, чтобы произвести обращение синтетических данных, полученных с помощью модели, состоящей из импульсного возмущения в одной ячейке в пределах структуры модели. Восстановленная модель в результате этого обращения привносит одну колонку, соответствующую этой ячейке в матрице разрешений.

Рисунок 2: Окно (a) – размах разрешения при ширине ячейки 250 м, и шуме 5 мкГал. Окно (b) – размах разрешения для такой же ячейке, при шуме 10 мкГал.

На Рисунке 2 представлены два примера анализа разрешения. На Рисунке 2a шум составляет 5 мкГал, а на Рисунке 2b шум составляет 10 мкГал. Была использована одна и та же решетка с ячейкой 250 м. Можно получить аналогичные результаты, создавая решетку с импульсным воздействием в одной ячейке с плотностью 1,0 г/см3, при этом в остальных ячейках плотность составляет 0 г/см3. Моделируя сетку с пунктами наблюдений, и выполняя затем обращение с ожидаемым или известным уровнем шума, мы получим нужную функцию рассеяния точки и разброс одной ячейки. Необходимо ограничить обращение диапазоном от 0 г/см3 до 1,0 г/см3. Авторы хотели бы отметить, что важно не перепутать матрицу дисперсий и матрицу разрешений, и что мы рассматриваем только матрицу разрешений. Матрица дисперсий рассматривает распределение шума в данных в пределах модели, а не то, насколько точна модель из-за геометрии съемки и решетки.

Используя эту методику, можно проверить размах для модели, с тем, чтобы повысить достоверность в отношении элементов, превышающих размах. Можно задать расстояние между пунктами наблюдения, исходя из нужной ширины ячейки, и точки, в которой разрешение одной ячейки резко становится больше. Этот скачок разрешения способствует нахождению наиболее экономически выгодного расстояния между пунктами наблюдения, с таким разрешением, которое требуется для моделирования после сбора данных.

Моделирование на основе обращения

Расстояние между пунктами наблюдения

Для проведения теоретических исследований мы создали модель на глубине 2500 м, с плотностным контрастом 0,05 г/см3, и с расстоянием между пунктами наблюдения аналогичным тому, которое использовал Hare, и другие (1999). Модель имитирует основные размеры, которые использовались при обследовании месторождения Prudhoe Bay (Ferguson, и другие, 2007). Модель используется для того, чтобы имитировать синтетические гравитационные аномалии, возникающие при нагнетании воды в пласт толщиной 150 м, находящийся на указанной глубине. Уровень шума установлен равным 5 мкГал. Теоретический верхний предел расстояния между элементами данных составляет примерно 2500 м, но очевидно, что это значение слишком велико, давая сигнал слабой силы. Поэтому мы выполняем моделирование на основе обращения, с тем, чтобы определить оптимальное расстояние между пунктами наблюдения. Мы также проверяем, какой была бы точность модели с определенным расстоянием между пунктами наблюдения по сравнению с тем, которое использовалось в поле.

Рисунок 3: Синтетические данные, использованные для обращения с добавление шума 5 мкГал. Пункты наблюдения отмечены белыми точками, и расположены аналогично тому, как было у Hare, и др.. (1999).

В модели мы используем решетку с ячейкой размером 250 x 250 м. Мы начинаем с расстояния между пунктами наблюдения 50 м, и увеличиваем его на 50 м, до тех пор, пока оно не составит 1000 м. Для каждого расстояния между пунктами наблюдения сначала выполняется базовое обращение данных, полученных из искусственной модели, с тем, чтобы получить оператор обращения. Затем мы производим обращение данных из импульсной модели, с тем, чтобы создать PSF. Анализ этой последовательности обращений дает оптимальное значение расстояния между пунктами наблюдения, при условии, что мы интерпретируем данные с использованием ячейки шириной 250 м. Для количественной оценки разброса, или разрешения восстановленной модели мы рассчитываем радиус от максимальной амплитуды до того места, где сосредоточено 95% массы восстановленной модели. На Рисунке 4 показана зависимость расстояния между пунктами наблюдения от радиуса пространственного разрешения модели. Самая высокая разрешающая способность, которая может быть достигнута, имеет радиус величиной 1400 м. Интуитивно ясно, что разрешение должно уменьшаться по мере увеличения расстояния между пунктами наблюдения. Это подтверждается имитацией. При расстоянии между пунктами наблюдения 400 м, диапазон разрешающей способности составляет приблизительно 2100 м. Интересно отметить, что при расстоянии между пунктами наблюдения 650 или 700 м, радиус разрешающей способности увеличивается лишь на две ячейки (500 м), по сравнению с расстоянием между пунктами наблюдения 400 м. В зависимости от нужной разрешающей способности, это может снизить расходы на сбор данных почти наполовину.

Рисунок 4: Радиус восстановленной разрешающей способности в метрах как функция равномерно нанесенного на сетку расстояния между пунктами наблюдения в метрах. Минимальное расстояние между пунктами наблюдения составляет 50 м, увеличение происходит до величины 1000 м, с приращением 50 м. Каждая модель с восставленным разрешением охватывает как минимум 95% истинной массы.

Дискретизация модели

Предшествующее исследование было сосредоточено на фиксированном уровне дискретизации модели, с шириной ячейки 250 м, и равномерно расположенными данными. Мы возвращаемся к нашему синтетическому комплекту данных с уровнем шума 5 мкГал, и используем набор местоположений реальных данных (на основании Hare, и др., 1999), и синтетические данные, которые показаны на Рисунке 3. Мы начинаем с обращения данных при ширине ячейки 250 м. И вновь, мы сначала выполняем обращение данных, мы производим анализ разрешающей способности, и рассчитываем радиус разрешения. После этого радиус нормализуется по ширине ячейки, для того, чтобы увидеть число ячеек, которое необходимо для покрытия 95% истинной массы. Ширина ячеек увеличивается на 50м, и анализ разрешающей способности выполняется снова. Это повторяется до тех пор, пока ширина ячейки не дойдет до 1000 м. Результаты показаны на Рисунке 5. Мы можем видеть, что количество ячеек, необходимое для охвата 95% массы уменьшается по мере увеличения ширины ячейки. При ширине ячейки 600 м, радиус разрешающей способности равен примерно 5-кратной ширине ячейки, или 3000 м. Можно использовать 500-метровые ячейки, и в этом случае разрешающая способность также будет равна 5-кратной ширине ячейки, или 2500 м. Однако, интересно отметить, что при использовании ячейки шириной 450 м, разрешающая способность будет равна примерно 7-кратной ширине ячейки, или 3200 м, и не будет такой же оптимальной, как при значениях ширины ячейки 500 м или 600 м.

Рисунок 5: Характер измерения радиуса разрешающей способности, нормализованного по ширине ячейки, в зависимости от ширины ячейки. Например, при использовании ячейки шириной 500 м, разрешающая способность будет равна примерно 5-кратной ширине ячейки, или 2500 м (по радиусу). Ширина ячейки изменяется в диапазоне от 250 м до 1000 м.

Выводы

Поскольку диапазон применений метода гравиметрического мониторинга продолжает расширяться, следует также углубить понимание практических аспектов проектирования съемки и оценки модели, имеющих отношение к этим ценным данным. С помощью анализа в области волновых чисел мы показываем, что предварительная информация о глубине изучаемого объекта предоставляет ценную информацию об эффективном проектировании съемки, перед началом сбора данных в эксплуатационных условиях. Кроме того, мы показываем, что анализ с помощью матриц разрешений предоставляет эффективные средства оценки восстановленных моделей 4-мерного обращения, и, следовательно, может содействовать в выборе параметров сбора данных и модели.

Благодарность

Финансовую поддержку оказала Ассоциация гравиметрических и магнитных исследований (GMRC): Anadarko, BGP, Chevron, и ConocoPhillips.

Изданные справочные материалы

Примечание: Представленный ниже список справочных материалов представляет отредактированную версию списка справочных материалов, представленного автором. Списки справочных материалов для расширенных аннотаций технической программы конференции SEG 2008 года был отредактирован таким образом, чтобы справочные материалы, предусматриваемые интерактивными метаданными для каждого документа, достигали высокой степени взаимосвязи с цитируемыми источниками, которые появляются в Интернете.

Справочные материалы

Ferguson, J. F., T. Chen, J. Brady, C. L. V. Aiken, и J. Seibert, 2007, The 4D microgravity method for waterflood surveillance II – Gravity measurements for the Prudhoe Bay reservoir, Alaska (Метод 4-мерной микрогравиметрии для наблюдения за заводнением II – Гравиметрические измерения для резервуара Prudhoe Bay, Аляска): Geophysics, 72, I33–I43.

Hare, J. L., J. F. Ferguson, C. L. V. Aiken, and J. L. Brady, 1999, The 4D microgravity method for water flood surveillance: A model study for the Prudhoe Bay reservoir, Alaska (Метод 4-мерной микрогравиметрии для наблюдения за заводнением: Исследование модели для резервуара Prudhoe Bay, Аляска): Geophysics, 64, 78–87.

Kirkendall, B., 2007, Nonlinear model appraisal in gravity gradiometry imaging; properties and modeling of the resolution matrix: Ph.D. thesis, Colorado School of Mines (Оценка нелинейной модели в формировании изображений методом гравитационной градиометрии; свойства матрицы разрешений и ее моделирование: докторская диссертация, Горное училище в Колорадо).

Li, Y., и D. Oldenburg, 1998, 3D inversion of gravity data (3-мерное обращение данных гравиметрических исследований): Geophysics, 63, 109–119.

Reid, A. B., 1980, Aeromagnetic survey design (Проектирование аэромагнитной съемки): Geophysics, 45, 973–976. Tikhonov, A. N., and V. Y. Arsenin, 1977, Solutions of ill-posed problems (Решение некорректно поставленных задач): John Wiley and Sons.